TEMA 3. CARACTERÍSTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA 3.1.- El operador

TEMA 3. CARACTERÍSTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA 3.1.- El operador esperanza matemática. Propiedades 3.2.- Los momentos de una variable aleatoria 3.3.- La variable aleatoria tipificada 3.4.- El teorema de Chebychev 3.5.- La función generatriz y la función característica Referencias básicas Casas y Santos (1999ª: 61-158) Freund y otros (1990: 213-236) Martín Pliego y Ruiz-Maya (1995: 150-312)

OBJETIVOS FUNDAMENTALES DEL TEMA Al finalizar el tema el alumno debe ser capaz de: Manejar el operador esperanza matemática y conocer las propiedades del mismo; Poder calcular los momentos con respecto al origen; Derivar los momentos respecto a la media a partir de los momentos respecto al origen; Tipificar una variable; Entender la utilidad de la desigualdad de Chebishev; Conocer dos nuevas funciones (función generatriz de momentos y función característica) que contienen información sobre la variable aleatoria.

3.1.- El operador esperanza matemática Media ponderada de los posibles resultados de una variable aleatoria utilizando como ponderación la probabilidad de cada uno de estos resultados. E x Variables aleatorias discretas: Variables aleatorias continuas: E x x f ( x ) x x f ( x )dx

Ejemplo 3.1.1 Una cooperativa agrícola vende plátanos de tres clases. La probabilidad de que el plátano corresponda a cada una de las tres clases es: Clase Probabilidad 1ª 0,8 2ª 0,15 3ª 0,05 La cooperativa vende a 18 céntimos de euro la unidad de la clase primera, a 12 la unidad de la clase segunda y a 6 la unidad de la tercera. ¿cuál es el ingreso esperado por unidad vendida en la cooperativa?

El departamento de marketing de una marca de coches considera que el tiempo que transcurre hasta la renovación del automóvil por parte de sus clientes puede representarse mediante la función de densidad: f(x) x2/72, 0 x 6, donde x está medido en años, aunque permitimos que tome cualquier valor decimal. Calcular el tiempo promedio que transcurre hasta que un individuo renueva su coche.

Propiedad 1: La esperanza matemática de una constante es igual a la misma constante; E[c] c Propiedad 2: Sea X una variable aleatoria discreta/continua y f(x) su distribución de probabilidad en x, el valor esperado de g(x), una función de X, vendrá dado por, E g( x ) g( x ) f ( x ) x V. discretas E g( x ) g( x ) f ( x )dx V. Continuas Propiedad 3: Si a y b son constantes, entonces, E[a g(x) b] a E[g(x)] b Propiedad 4: Si una variable aleatoria está acotada entre dos valores a y b, a x b, entonces también a E[x] b

Ejemplo 3.1.4 La cantidad de merluza desembarcada en un puerto pesquero es una variable aleatoria x con función de densidad (x en toneladas) f(x) kx(30-x) si 0 x 30 f(x) 0 resto de los casos a) Hallar el valor de la constante k b) Debida a una excesiva oferta la relación actual entre el precio por kilo y la cantidad en toneladas viene dada por: P 1500(1 1/x). Obtener el precio medio por kilo de merluza

3.2.- Los momentos de una variable aleatoria Momento deorden r con respecto a B E ( x B)r r origen:r B 0 Momentos con respecto E xal x f ( x ) V. discretas V. continuas r x E x x r f ( x )dx para r 0,1,2, . Momentos con respecto E ( xa la media: )r B ( x )r f ( x ) x V. discretas V. continuas E ( x ) ( x )r f ( x )dx para r 0,1,2, . r

Varianza de una variable aleatoria Coincide con el segundo momento alrededor de la media Var[x] 2 E[(x- )2] E[x2]-[E[x]]2 E[x2] - 2 Propiedad 1: Si X tiene la varianza 2, entonces Var[ax b] a2 2 (a, b constantes).

Relación entre los momentos respecto a la media y los momentos con respecto al origen r r k k r ( 1) r k 1 k k 0

3.3.- La variable aleatoria tipificada Sea X una variable aleatoria tal que E[x] Var [x] 2 Recibe el nombre de variable aleatoria tipificada o normalizada, la variable Z, tal que x z la cual tiene las siguientes características en cuanto a su valor medio y dispersión: E[z] 0 Var [z] 1

3.4.- Teorema de Chebyshev Si y son la media y la desviación estándar de una variable aleatoria X, entonces para cualquier 1 constante positiva k 1la probabilidad es al menos 2 k que X asumirá un valor dentro de k desviaciones estándar de la media;1 P x k 1 k2 1 P k x k 1 2 k

Ejemplo 3.4.1 Sea una variable aleatoria X de tipo discreto, cuya distribución de probabilidad viene dada por: X P(X x) 1 0,03 2 0,04 3 0,07 4 0,72 5 0,07 6 0,04 7 0,03 Obtener una cota superior de las probabilidades de los sucesos P[ x- k ] para k 2,3 y 4. Compara estos valores con las probabilidades exactas de estos sucesos

E[x] 1 0,03 2 0,04 3 0,07 4 0,72 5 0,07 6 0,0 4 7 0,03 4 2 E[x2] 12 0,03 22 0,04 32 0,07 42 0,72 52 0,07 62 0 ,04 72 0,03 17 2 2 12 17-16 1 y también 1 Si k 2 2] 0.14 1/4 P[ x- 2 ] 1/22 P[ x-4 Si k 3 0.111 1/9 P[ x- 3 ] 1/32 P[ x-4 3] Si k 4 1/16 P[ x- 4 ] 1/42 P[ x-4 4] 0

Ejemplo 3.4.2 El número de periódicos vendidos diariamente en un quiosco es una variable aleatoria de media 200 y desviación típica 10. ¿cuántos ejemplares diarios debe encargar el quiosquero para tener seguridad de al menos un 99% de no quedarse sin existencias? 1 ParticularizandoP 200 la expresión extendida k 10 x 200 k 10 1 2del teorema k de Chebyshev, 1 para tener la seguridad de al menos el 100 99% k 10, por P 200 100 x 200 100 1 tanto, resultando el intervalo (100 x 300) luego 300

3.5.- La función generatriz y la función característica La función generatriz de momentos de una txpor variable aleatoria dada GX (t)X, Eestá (etx ) e f (x ) x V. discretas G ( t ) E( etx ) etx f ( x )dx X V. continuas Para determinar los primeros momentos de una variable aleatoria podemos simplificar su cálculo mediante la relación r d Gx (t) r dt r t 0

Ejemplo 3.5.1 Sea la variable aleatoria X cuya distribución de probabilidad viene dada por: X 0 1 2 3 P(X xi) 0,2 0,3 0,4 0,1 Calcula su función generatriz de momentos y utilízala para obtener los tres primeros momentos no centrados. GX ( t ) E( etx ) etx f ( x ) et 0 0,2 et 1 0,3 et 2 0,4 et 3 0,1 x G' X ( t 0) e0 0,3 e0 2 0,8 e0 3 0,3 1,4 1 G' ' X ( t 0) e0 0,3 e0 2 1,6 e0 3 0,9 2,8 2 G' ' ' X ( t 0) e0 0,3 e0 2 3,2 e0 3 2,7 6,2 3