Dimensjonsanalyse og modelllover II NTNU 2005 Ø. Arntsen

Dimensjonsanalyse og modelllover II NTNU 2005 Ø. Arntsen

Treghetskraft og andre krefter Forskjellige typer krefter virker på et væskeelement Sum av krefter ma (treghetskraften) Treghetskraften vil alltid opptre Gjør andre krefter dimensjonsløse ved å skalere med treghetskraften Størrelsene av kraftforholdene i et gitt problem indikerer hvilke krefter som dominerer i problemet Et strømningsproblem vil alltid være knyttet til verdier av en tetthet , en fart V og en lengde l.

Likedannethet ved modellforsøk Geometrisk likedannhet Likedannethet i dimensjoner og form Kinematisk likedannhet Likedannethet av bevegelse, strømningsmønster etc Dynamisk likedannethet Likedannethet av krefter

Typiske krefter i en væske Treghetskrefter for et lite væskevolum er knyttet til dets akselerasjon. Endringer i farten ettersom partiklene flytter seg langs en strømlinje V dV/ds V2/l ganger med massen l3 og får treghetskraften: V2l2 Viskøse krefter Skjærspenningen : V/ y V/l ganges med en flate A l2 som har med legemets dimensjoner å gjøre. Viskøse krefter: l2 Vl

Forholdet mellom treghets- og viskøse krefter Forholdet mellom treghetskraft og viskøs kraft: ( V2l2)/( Vl) ( Vl)/ dvs. videre lik: Vl/ Re Altså Reynolds tall, nå med lengdedimensjonen l

Forholdet mellom treghets- og vekt (tyngden) Forholdet mellom treghetskraft og vekt: ( V2l2)/( gl3) V2/ gl Vanlig å ta kvadratroten: Dette er Froudes tall V/ (gL)0.5 Fr

De forskjellige kreftene kraft Masse (treghet) Viskositet Tyngde Trykk Overflatespenn Elastisitet parameter dimensionsløs Re g Fr p Cp We v Ma

Uttrykk for de enkelte dim.løse tall Reynolds Number Froude Number Trykkoeffisienten Weber Number Mach Number Vl Re V Fr gl 1 Cp p V 2 2 V 2l We V Ma c c er lydhastighet i væska

Dynamisk likedannethet Froude, Reynolds, Mach, Weber og Cp tallene må ha samme verdi i modell som i fullskala Dette viser seg umulig, vi må velge det som representer kraften som er dominerende i problemet og skaler tilsvarende. Dersom tyngden er viktigst må (Fr)m (Fr)p bli skaleringsloven – Froude skalering.

V Fr gl Froude skalering Froude tall samme i modell (m) og i prototyp (p) Vanskelig å endre g Definer lengdeforholdet (vanligvis større enn 1) hastighetsskala Vr L r Lr t r Lr tidsskala Vr 5/ 2 Q V A L L L L Vassføringsskala r r r r r r r kraftskala Lr Fr M r a r r L 2 L3r tr 3 r Fm Fp Vp2 Vm2 gmLm gpLp 2 Vm2 Vp Lm Lp Lp Lr Lm

Reynolds og Froude likedannethet samtidig? Reynolds Vl R mVmlm pV p l p m p Froude V F gl Vann er eneste praktiske væske Vr L r Vmlm V p l p V p lm Vm l p 1 1 Lr Vr Lr Lr Lr 1 Altså kun mulig i fullskala

Oppsummering skaleringslover Parameter Lende Areal Volum Tid Fart Akselersajon Masse Kraft Trykk Impuls Energi og arbeid Effekt Dimension Reynolds Froude L L2 L3 Lr (Lr)2 (Lr)3 Lr (Lr)2 (Lr)3 T LT-1 LT-2 L3T-1 (Lr)2 (Lr)-1 Lr)-3 (Lr) (Lr)1/2 (Lr)1/2 1 (Lr)5/2 M MLT-2 ML-1T-2 MLT-1 ML2T-2 ML2T-3 (Lr)3 1 (Lr)-2 (Lr)2 (Lr) (Lr)-1 (Lr)3 (Lr)3 (Lr) (Lr)7/2 (Lr)4 (Lr)7/2